행렬(Matrix)은 캐일리(Arthur Cayley,1821~1895)이 1858년에 발표한 논문에서 처음등장.
이후 에르미트(Charles Hemite,1822~1901),요르딩(Camillie Jordan, 1838~1922)등이 행렬의 이론 발전에 많은 공헌을 함.
- 벡터의 확장
- 행 벡터들로 행을 구성하거나 열 벡터들로 열을 구성하여 만들 수 있음.
- 행렬을 이용해 컴퓨터 그래픽에서 이동이나 회전이 가능
행렬은 벡터의 확장이라 볼 수 있다. 벡터가 하나의 행 내지는 열만을 표현하는 데 비해 행렬은 행 벡터들로 행을 구성하거나 열 벡터들로 열을 구성하여 만들 수 있음. 이런 행렬을 사용하여 컴퓨터 그래픽에서 점이나 오브젝트 등을 다른 위치로 옮기거나 회전할 수 있음.
변환
- 점이나 오브젝트의 위치를 바꾸고 회전하는 것
- 행렬은 변환 뿐 아니라 다변수 벡터 함수의 미분법이나 다변수 치환적분법에서도 중요하게 사용됨.
파란 화살표는 →행과 붉은 화살표는 ↓열을 나타낸다. 행과 열이 각각 m과 n개이면 m×n행렬이라 한다.
행렬의 종류
정방행렬 (square matrix)
m×n행렬에서 m과 n이 같은 경우 정방행렬이라하고 n을 정방행렬의 차원이라고 한다.
대각행렬 (diagonal matrix)
대각행렬은 정방행렬에만 있다. 행렬의 성분중 i(행)과 j(열)이 같은 성분을 제외한 성분이 0인 행렬을 대각행렬이라고 한다.
단위행렬(identity matrix)
대각 행렬에서 대각선 성분의 값이 모두 1인 행렬
단위행렬을 I라고 하면
특징: AI = IA = A 실수의 1과 같이 어떤 행렬에 I를 곱해도 변화가 없다.
영행렬(zero matrix)
- 모든 성분이 0인 행렬을 나타낸다.
실수의 0과 같다고 생각하면 된다.
전치행렬 (transpose)
- 행렬을 대각선 성분에 대해 대칭 이동한 행렬
m×n행렬의 전치행렬은 n×m행렬이 된다.
행렬의 연산
- 행렬의 연산은 덧셈과 뺄셈은 동일하다.
- 덧셈과 뺄셈을 하기위해서는 행과 열의 성분의 개수가 같아야한다.
- 두 행렬의 ij성분끼리 합한(뺀) 결과값이 ij성분이 된다.
행렬의 곱셈
행렬의 스칼라 곱
차원의 변화는 없다. 모든 성분에 동일하게 곱해진다.
행렬과 행렬의 곱
위 표시된 부분 각각 벡터로 생각하여 내적을 구하면 다음과 같다.
이와 같이 A의 모든 행과 B의 모든 열을 대상으로 내적을 구하면 행렬C가 나오게 된다.
C의 (i,j)성분은 A의 i행과 B의 j열의 벡터의 내적으로 정의된다.
또한 A×B가 성립하기 위한 조건은 다음과 같다.
다시말하면 A행렬의 행벡터의 차원이 n개이고 B행렬의 열벡터의 차원은 n개로 차원이 같아야 내적을 구할 수 있기 때문이다.
행렬의 연산의 법칙
행렬식
-행렬식은 정방행렬에서만 계산할 수 있다.
이원일차연립방정식과의 관계
분모에 나타난 식을 행렬식이라 부른다.
행렬의 행렬식을 계산하기 위해 필요한 2가지 개념 : 소행렬식(minor), 여인자(cofactor)
여인자 전개(cofactor expansion)
3차정사각행렬의 여인자 전개
1행에 관한 여인자 전개를 한 것과 좀더 편하게 계산하는 방법이다.
외적과 행렬식
출처 - 한국콘텐츠진흥원