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수학 26

원에서 활꼴의 넓이, 중심각, 호, 현 정리

부채꼴과 활꼴 활꼴은 현과 호로 이루어진다. 부채꼴은 원의 중심과 원주 위의 두 점을 이은 선분으로 이루어진다. 활꼴의 넓이 부채꼴의 넓이는 주어진 상황에 따라서 구하는 방법이 여러가지가 있다. 이에 대해서는 다른 포스팅에 정리하기로 하고 활꼴의 넓이를 구하는 아주 표본이 되는 문제 하나를 풀어보자. 두 원이 위와 같이 교차하고 교차하는 두 점과 원의 중점을 연결하여 정사각형이 나온 경우다. 위와 같은 부채꼴을 찾을 수 있고 부채꼴에서 삼각형(정사각형 넓이의 반)의 넓이를 빼면 활꼴의 넓이가 나온다. 원의 반지름이 주어지면 부채꼴의 넓이 = 원의 넓이/4 활꼴의 넓이 = 부채꼴의 넓이 – 삼각형의 넓이 위 문제의 넓이 = 활꼴의 넓이x 2 아래 그림과 같이 동일한 반지름의 원에서는 부채꼴의 중심각의 크기..

수학 2015.07.24

삼각형의 내심 외심 무게중심

모든 삼각형은 내접원과 외접원을 가진다. 내심과 외심의 정의는 다음과 같다. 내심 정의 - 삼각형의 내각의 이등분선들이 만나는 점 (내심을 그리는데 사용하는 특성) 특성 - 삼각형의 내접원의 중심 - 내심에서 삼각형의 세 변까지의 길이가 모두 같다.(=내접원의 반지름) 외심 정의 - 삼각형의 변들의 수직 이등분선이 만나는 점 특성 - 삼각형의 외접원의 중심 - 세 꼭지점 까지의 길이가 모두 같다.(=외접원의 반지름) 개인적으로 내심과 외심은 다음과 같이 정리한다. 삼각형에 내접한 원을 그려보면 각 변이 원과 맞닿아 있다. 당연히 내심에서 변까지 거리가 반지름으로 같다. -> 각의 이등분선이 만나는 점이 내심 삼각형에 외접한 원을 상상해 보면 각 꼭지점이 원과 맞닿아있고, 당연히 외심에서 꼭지점까지 거리가..

수학 2015.07.17

각이등분선 정리

중선정리와 비슷한 모양의 각이등분선 정리가 있습니다. 중선정리는 직각삼각형을 이용하여 증명하지만, 각이등분선 정리의 증명은 좀 복잡합니다. 복잡하지만 어렵지는 않습니다. 각이등분선 정리 한 꼭지점에서 각을 이등분 하는 선과 그 선이 대변을 c와 d를 둘로 나눌 때 위 5개의 변수 간에는 위와 같은 관계식이 성립합니다. a:b=c:d는 이등변 삼각형을 이용하여 증명합니다. 우선 왼쪽 그림과 같이 각 이등분선과 평행한 선을 그림처럼 그립니다. 그리고 길이가 a인 변의 연장선을 두 선이 만날 때 까지그어 삼각형을 만들면, 오른쪽 그림 표시처럼 엇각이 생기고(평행선이므로), 잘 따져보시면 오른편 붉은색 삼각형은 이등변 삼각형이 됩니다. 이등변 삼각형이므로 점선으로 된 변 또한 길이가 b가 되서, a:b = c:..

수학 2015.06.07

삼각형의 무게중심 그리고 삼각형의 넓이

삼각형의 무게중심의 정의는 다음과 같다. 각 세 꼭지점에서 대변의 중점을 연결하면 한 점에서 만나는데, 이 점이 무게중심이다. 무게중심의 성질 - 무게중심은 꼭지점과 대변의 중점을 2:1로 내분한다. 삼각형 AMC에서 붉은 직선은 직선 AM과 평행하고 선분 AC의 중점을 지난다. 그래서 직선 붉은 직선은 MC를 이등분 한다. 무게중심은 꼭지점과 대변의 중심을 2:1로 나눈다. - 삼각형의 세 꼭지점이 좌표로 주어졌을 때 무게중심을 구하는 방법. - 면적 특성 꼭지점과 대변의 이등분 선을 모두 이으면 삼각형을 6등분 할 수 있다. 붉은 색 조각을 비롯한 6개의 삼각형은 모두 크기가 같다. 또한 무게 중심을 지나고 꼭지점과 변의 이등분선을 지나는 점은 삼각형의 넓이를 이등분 한다. 주의할 점은 무게중심을 지..

수학 2015.06.03

중선정리(파푸스의 중선 정리), 스튜어트 정리

삼각형의 중선 정리는 파푸스의 중선정리라고도 합니다. 한 꼭지점과 그 대변의 중심선을 연결한 선을 d라고 하면 위 네개의 선들 사이에는 다음과 같은 관계식이 성립합니다. 스튜어트의 정리 스튜어트의 정리에서 m:n = 1:1 인경우(n=m인경우)가 중선의 정리입니다. 증명방법은 중선 정리만 따로 증명하거나 스튜어트 정리를 증명하여 중선 정리를 증명하는 방법등 여러가지가 있습니다. 중선정리 증명1 중선을 연장한 후 나머지 꼭지점에서 수선을 내린다. 두 삼각형은 세 각이 같고 대응되는 변의 길이가 m으로 같으므로(한변과 양 끝각이 같아서 합동) 합동임. 중선정리 증명2 왼쪽 오른쪽 양 변의 길이의 제곱을 구한 후 더합니다. 스튜어트 정리 증명 m=n을 대입하면 중선의 정리가 나옵니다.

수학 2015.06.03

삼각형 넓이 공식

중고등학교 과정에서 나오는 삼각형 넓이 공식 정리 위 공식을 토대로 설명해 나가겠습니다. 위 표를 토대로 설명을 해나가겠습니다. 삼각형의 넓이 공식에 대한 증명은 여러가지 방법으로 가능합니다. 밑변과 높이, 평행선, 밑변의 비를 이용하는 경우는 단순히 그림을 그림으로서 직관적이 이해가 가능합니다. 두 변과 사잇각 또한 다음과 같이 이해할 수 있습니다. bsinC 또는 asinC의 값은 각각 a와 b에 대한 높이가 됩니다. 참고(외적을 이용한 이해) 제가 공부할 때만 하더라도 중고등학교 과정에서는 벡터의 외적이 없습니다.(현재는 잘 모름.. 있나요? ㅎㅎ) absinC는 a벡터와 b벡터의 외적을 구하는 공식입니다. 두 벡터의 외적은 다음 그림처럼 평행사변형의 넓이를 뜻합니다. 벡터a와 벡터 b의 외적은 a..

수학 2015.06.01

역행렬 구하는 방법, 가우스 소거법, 여인자

일반적으로 생각해서 어떤 행렬의 변환에 대해서 원래의 상태로 변환시키는 행렬이 존재할 수 있습니다. 어떤 행렬의 역연산을 역행렬이라고 하고 n×n의 정방행렬 A와 단위행렬 I에 대하여 다음의 조건이 필요합니다. 행렬 A의 역행렬은 유일하게 존재하며 A-¹ 로 나타냅니다.(역행렬이 존재하지 않을 수도 있습니다.) 역행렬이 존재하는 정방 행렬을 가역행렬(invertible matrix) 또는 정칙행렬(nonsingular matrix)라고 하고, 역행렬이 존재하지 않는 행렬을 특이행렬(singlular matrix)라고 합니다. 즉, 역행렬은 곱셈에 대한 역원입니다. 다음은 가우스 소거법을 이용하여 역행렬을 구하는 방법입니다. 아래와 같은 행렬이 있고 역행렬을 가우스 소거법을 이용해 구하려면 다음과 같이 준..

수학 2014.06.17

행렬(1) - 게임을 위한 수학

행렬(Matrix)은 캐일리(Arthur Cayley,1821~1895)이 1858년에 발표한 논문에서 처음등장. 이후 에르미트(Charles Hemite,1822~1901),요르딩(Camillie Jordan, 1838~1922)등이 행렬의 이론 발전에 많은 공헌을 함. - 벡터의 확장 - 행 벡터들로 행을 구성하거나 열 벡터들로 열을 구성하여 만들 수 있음. - 행렬을 이용해 컴퓨터 그래픽에서 이동이나 회전이 가능 행렬은 벡터의 확장이라 볼 수 있다. 벡터가 하나의 행 내지는 열만을 표현하는 데 비해 행렬은 행 벡터들로 행을 구성하거나 열 벡터들로 열을 구성하여 만들 수 있음. 이런 행렬을 사용하여 컴퓨터 그래픽에서 점이나 오브젝트 등을 다른 위치로 옮기거나 회전할 수 있음. 변환 - 점이나 오브젝트..

수학 2014.06.13

직선과 평면의 방정식 - 게임을 위한 수학(4)

오브젝트 충돌 상태를 구하기 위해 직선과 평면의 방정식등의 기하학을 이용합니다. 벡터를 기본으로 하여 직선 및 평면의 방정식을 표현하는 법을 알아보고, 이런 직선과 평면의 교차 관계를 이용해 게임상의 충돌 알고리즘을 구현할 수 있습니다. 이를 위해서는 기하학의 기본이 되는 직선, 평면의 기하 요소들을 정확히 이해하고 그 교차 관계를 계산하는 법을 아는 것이 중요합니다. 광선추적에 관련된 강의를 이해하기 위해서 기본적인 기하학은 꼭 알고 있어야 합니다. 직선의 방정식의 정의 고등학교에서 배우는 직선의 방정식을 기본으로 벡터 형태의 방정식을 사용하는 법을 익히도록 합니다. 게임에서는 벡터형태로 된 방정식을 사용합니다. 여기서 매개변수(parameter) t의 범위에 따라 반직선, 유한 직선으로 직선의 방정식..

수학 2014.05.26

벡터의 개념과 벡터의 내적,외적 - 게임 수학(3)

벡터는 크기만 가진 스칼라의 진화형으로 방향과 크기를 가집니다. 게임 프로그래밍에 필수적인 요소기 때문에 벡터에 관한 내용은 자세히 공부할 수록 좋다고 생각됩니다. 물리계에서 사용하는 힘, 속도, 가속도를 벡터로 표현할 수 있기 때문에 물리엔진의 구현에도 벡터는 필수적입니다. 벡터의 개념은 라그랑즈(1736-1813)가 1788년에 출판한 "Mechanique Analytique"에서 발견되었습니다. 라그랑즈 이후에 벡터의 개념이 수학, 역학, 물리학, 공학 등에 보편화 되는데 100여년이 걸렸습니다. 게임내에서 벡터의 쓰임은 오브젝트의 위치, 운동의 표현, 폴리곤, 카메라나 시선처리, 조명을 위한 법선 처리 등 공간적 방향을 표현하는데 쓰이기도 합니다. 백터의 개념 위 그림처럼 AB와 A'B'는 같은 ..

수학 2014.05.26
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