중고등학교 과정에서 나오는 삼각형 넓이 공식 정리
위 공식을 토대로 설명해 나가겠습니다. 위 표를 토대로 설명을 해나가겠습니다.
삼각형의 넓이 공식에 대한 증명은 여러가지 방법으로 가능합니다.
밑변과 높이, 평행선, 밑변의 비를 이용하는 경우는 단순히 그림을 그림으로서 직관적이 이해가 가능합니다.
두 변과 사잇각 또한 다음과 같이 이해할 수 있습니다.
bsinC 또는 asinC의 값은 각각 a와 b에 대한 높이가 됩니다.
참고(외적을 이용한 이해)
제가 공부할 때만 하더라도 중고등학교 과정에서는 벡터의 외적이 없습니다.(현재는 잘 모름.. 있나요? ㅎㅎ)
absinC는 a벡터와 b벡터의 외적을 구하는 공식입니다.
두 벡터의 외적은 다음 그림처럼 평행사변형의 넓이를 뜻합니다.
벡터a와 벡터 b의 외적은 absinθ 입니다. 이는 위와 같이 평행사변형의 넓이가 됩니다.
그러므로 1/2absinθ은 a와 b를 두 변으로 하는 삼각형의 넓이가 됨을 알 수 있습니다.
부연설명(외적은 대학교 과정입니다.)
위 성질은 외적의 중요한 성질인데 외적의 값은 평행사변형의 넓이를 뜻하고 값은 벡터가 됩니다. 벡터기 때문에 방향 성분도 가지고 있습니다. 그 방향은 a벡터와 b 벡터 모두에 수직인 방향입니다. 교환법칙은 성립하지 않고 서로 바꾸어 계산하면 방향이 반대로 됩니다.
(참고로 내적은 스칼라 값을 갖습니다.)
위 사실은 대학교 과정이긴 하지만, 외적과 내적에 관한 대학교 과정은 꽤 흥미롭습니다.
다음은 유명한 헤론의 공식입니다.
이를 증명하는 방법은 두변과 사잇각을 이용한 공식(외적을 이용한 공식) 을 cos법칙을 이용해서 풀어 쓰면 됩니다. 패스~
세 점(a,b),(c,d),(e,f)의 좌표
처음과 끝의 연결을 하기 위해 마지막에 처음 좌표를 한번 더 써줍니다.
1.대각선(검은색)을 곱하여 더합니다.
2. 대각선(붉은색)을 곱하여 더합니다.
1.에서 2.를 빼서 절대값을 취합니다. 그리고 1/2을 곱합니다.
이 식의 증명은 위와 같이 하나의 좌표를 (0, 0)으로 이동한 후 사다리꼴 모양에서 붉은칠 한 삼각형의 넓이를 빼면 됩니다. 식을 세워 계산하면 위 식이 나옵니다. 자세한 증명은 패스~
위 두 좌표를 벡터로 보면 외적을 통해 평행사변형의 넓이를 구할 수 있습니다.
이 넓이에 1/2을 곱하면 구하려는 삼각형의 넓이가 나옵니다.
두 변과 사잇각을 통해 외적을 구하는 방법은 위에서 소개했습니다.(외적 = absinθ)
꼭지점(벡터의 좌표)이 주어질 경우에는 행렬을 통해 구하는 방법이 있습니다.
행렬의 행렬식을 구하는 방법인데, 라플라스 전개를 이용한 방법입니다.
i j k는 x,y,z축의 단위벡터를 뜻합니다. 위 그림은 2차원 좌표를 사용하지만, z가 0인 3차원 좌표로 생각 할 수도 있습니다.
위 라플라스 전개에 의해 k 성분의 벡터만 남았습니다. 이 뜻은 외적의 결과 벡터가 x,y축에 수직임을 뜻합니다. 이 벡터의 값은 평행사변형의 넓이와 같은 수치라고 했습니다. 위 식을 풀어 쓰면 세 점의 좌표가 있을 때 삼각형의 넓이를 구하는 공식이 나옵니다.
외적의 중요한 성질
- 두 벡터의 외적의 값은 두 벡터를 이웃으로하는 평행사변형의 넓이
- 외적의 결과 벡터의 방향은 두 벡터와 수직인 방향
- 외적의 결과 벡터의 길이와 평행사변형의 넓이는 같은 수치
외접원의 반지름(R)
두 변과 사잇각과 사인법칙을 이용한 방법입니다.(헤론의 공식은 두변과 사잇각 공식을 코사인법칙을 이용한 것)
사인법칙을 (원주각은 변하지 않으므로 하나의 각을 직각으로 만든다.) 직각삼각형으로 만들어 생각해보면.
삼각형의 한 변이 외접원의 중심을 지나면 그 대각은 직각이 됩니다.
표시각을 A라고 하고 대변을 a라고 하면.
a를 고정으로 하고, 원주 위를 표시각의 꼭지점이 움직입니다. 이는 원주각이므로 각이 변하지 않고, 각이 변하지 않으므로 오른편과 같이 하나의 각을 90도로 만들어 사인법칙을 생각해볼 수 있습니다.
(sinA)/a = (a/2R)/a = 1/2R
두 변과 사잇각의 넓이 공식은 (1/2)bcsinA 입니다
두 식을 섞어보면.
sinA = a/2R이므로
넓이 = (1/2)bc(a/2R) =abc/4R