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원과 접선, 비례

원둘레의 한 점에 접하는 접선과 이 접점을 하나의 꼭지점으로 하고 이 원에 내접하는 삼각형 간의 관계를 알아보자. 이로 인해서 생기는 성질은 표시된 두 각의 크기가 같다는 것이다. 이를 증명하는 방법은 원에 내접하는 사격형에서 한 내각과 맞은편 외각의 크기가 같음을 증명하는 방법과 비슷하다. 2015/08/10 - [수학] - 원에 내접하는 사각형의 성질 원의 중점과 꼭지점을 연결하여 세 개의 이등변 삼각형을 만든다. 여기서 a+b+c=90˚임을 알 수 있다. b+x=90˚가 된다. (참고성질 : 원과 접선의 접점에서 원의 중심을 이은 선분과 접선은 직각을 이룬다) 따라서 a+b+c=b+x 므로 x=a+c가 된다. 증명 끝. 원과 비례 원 내부에서 두 직선이 교차하는 경우 조금만 상상력을 발휘하여 원주각..

수학 2015.08.13

원에 내접하는 사각형의 성질

원에 내접하는 사각형의 대표적인 성질은 내각의 두 대각의 합이 180˚라는 것입니다. 이 성질을 증명하는 방법은 여러가지가 있으나, 여기서는 두 가지만 소개합니다. 두 번째 성질로는, 원에 내접하는 사각형의 한 내각의 크기는 맞은편 내각의 외각과 크기가 같다는 것입니다. 이 성질은 첫 번째 성질을 증명하면 자연스럽게 증면되므로 첫 번째 성질을 먼저 살펴보겠습니다. 두 대각의 합은 180˚ 증명 1> 위와 같이 원에 내접하는 사각형의 각 꼭지점에서 원의 중점을 이은 선분은 원의 반지름으로 모두 같으므로 4개의 이등변 삼각형으로 나눌 수 있습니다. 2(a+b+c+d) = 360˚ a+b+c+d = 180˚ 따라서 원에 내접하는 사각형의 두 대각의 합은 항상 180˚입니다. 증명 2> 위와 같이 붉은 선으로 ..

수학 2015.08.10 (2)

원에서 활꼴의 넓이, 중심각, 호, 현 정리

부채꼴과 활꼴 활꼴은 현과 호로 이루어진다. 부채꼴은 원의 중심과 원주 위의 두 점을 이은 선분으로 이루어진다. 활꼴의 넓이 부채꼴의 넓이는 주어진 상황에 따라서 구하는 방법이 여러가지가 있다. 이에 대해서는 다른 포스팅에 정리하기로 하고 활꼴의 넓이를 구하는 아주 표본이 되는 문제 하나를 풀어보자. 두 원이 위와 같이 교차하고 교차하는 두 점과 원의 중점을 연결하여 정사각형이 나온 경우다. 위와 같은 부채꼴을 찾을 수 있고 부채꼴에서 삼각형(정사각형 넓이의 반)의 넓이를 빼면 활꼴의 넓이가 나온다. 원의 반지름이 주어지면 부채꼴의 넓이 = 원의 넓이/4 활꼴의 넓이 = 부채꼴의 넓이 – 삼각형의 넓이 위 문제의 넓이 = 활꼴의 넓이x 2 아래 그림과 같이 동일한 반지름의 원에서는 부채꼴의 중심각의 크기..

수학 2015.07.24

두원의 접선의 길이

이문제는 두원을 벨트로 감아 놓은 것이다. 벨트의길이를 구하는 문제다. 원의 중심사이의 거리는 8 큰원의 반지름은 5 작은 원의 반지름은 1 위 그림을 보면 보면 풀이법은 다 나와있어서 풀기는 어렵지 않다. 하지만 오랜만에 수학을 푸는 나로서는 좌표를 그리고, 공통접선의 방정식을 구하고있었다. 중학교 도형이 쉬우면서도 어려운 이유는 마치 숨은 그림찾기같은 느낌이랄까? 알고보면 쉬운데.. 숨은 그림을 발견하지 못하면 어려운 공식을 쓰려고 하다가 갈피를 못잡게 되는 것 같다. 앞으로 수학문제들을 풀면서 숨은 그림 같은 문제들을 이곳에 올릴 생각이다.

수학 2011.11.19 (1)
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