원에 내접하는 사각형의 성질

원에 내접하는 사각형의 대표적인 성질은 내각의 두 대각의 합이 180˚라는 것입니다. 이 성질을 증명하는 방법은 여러가지가 있으나, 여기서는 두 가지만 소개합니다. 두 번째 성질로는, 원에 내접하는 사각형의 한 내각의 크기는 맞은편 내각의 외각과 크기가 같다는 것입니다. 이 성질은 첫 번째 성질을 증명하면 자연스럽게 증면되므로 첫 번째 성질을 먼저 살펴보겠습니다.

 

두 대각의 합은 180˚

증명 1>

위와 같이 원에 내접하는 사각형의 각 꼭지점에서 원의 중점을 이은 선분은 원의 반지름으로 모두 같으므로 4개의 이등변 삼각형으로 나눌 수 있습니다.

2(a+b+c+d) = 360˚

a+b+c+d = 180˚

따라서 원에 내접하는 사각형의 두 대각의 합은 항상 180˚입니다.

 

증명 2>

위와 같이 붉은 선으로 서로 마주보는 꼭지점을 잇습니다. 그리고 원의 중심을 지나는 선을 아무렇게나 긋습니다. 여기서 붉은 선으로 이어진 꼭지점은 그대로 고정시켜놓고 나머지 두 꼭지점을 원의 중심을 지나는 선과 원이 만나는 점으로 옮기겠습니다.

이렇게 옮기는 이유는 각각 붉은색 현에 대한 원주각이므로 각도가 변하지 않기 때문입니다.

2015/08/02 - [수학] - 원주각과 중심각의 성질

a와b 는 이동전과 후 에도 동일한 현에 대한 원주각이기 때문에 변하지 않습니다. 따라서 a+b는 두 대각의 합이 되고 항상 일정합니다. 최소한 두 대각의 합이 항상 일정하다는 것은 알았습니다. 이제 이 일정한 값이 180˚임을 증명하는 것은 간단합니다.

또 원주각의 성질을 이용할 수 있습니다. 원의 중심을 지나는 현의 원주각은 90˚임을 이용하면 됩니다.

이젠 a+b가 90임을 알 수 있습니다.

 

원에 내접하는 사각형의 내각과 맞은편 내각의 외각의 크기

? + a+d = 180˚가 되어야 합니다.

대각의 합이 180˚임을 증명했으므로

? = 180˚ - (a+d) = (a+b+c+d) – (a+d)

? = b+c 가 됩니다.

증명 끝.

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    • 2017.05.13 19:56
  1. 2번째 증명에서 결론에
    "a+b가 90도임을 알 수 있습니다."

    "a+b가 180도임을 알 수 있습니다"
    로 오타 수정하셔야 할 것 같아요