원주각과 중심각의 성질







원주각과 중심각

왼쪽이 원주각 오른쪽이 중심각인데 두 각 사이에는

원주각 X 2 = 중심각 - ①

의 관계가 성립한다.

주의할 점은 왼쪽 모양은 부채꼴이 아니라는 것인데 부채꼴의 정의에서 두 선분은 반지름이어야 하기 때문이다.

그래서 호가 주어지면 원주각의 위치는 원 주위가 되기 때문에 무수히 많지만, 중심각의 위치는 원의 중점으로 하나가 된다.

 

원주각의 성질

한 현의 양쪽 원주각

현을 기준으로 보면 하나의 현을 중심으로 위와 같은 경우와 아래와 같은 경우로 원주각과 중심각을 그릴 수 있다.

이 경우도 원주각X2 = 중심각이라는 성질은 바뀌지 않는다.

여기서 각 부채꼴의 중심각의 합은 2θ + 2θ' = 360˚가 되어 θ + θ' = 180˚가 되므로 하나의 현에 의해 그려지는 양 쪽의 원주각의 합은 항상 180˚ - ②가 된다. 그리고 이 성질을 통해서

원에 내접하는 사각형의 대각의 합은 180˚임을 알 수 있다.

θ+θ'=180˚ - ②

 

원의 중심을 지나는 원주각의 크기

원주각을 움직여서 아래와 같이 하나의 현이 원의 중심을 지나도록 위치시킨다.

 

원의 중심을 지나는 현의 원주각의 크기는 90˚가 된다. 이를 직관적으로 증명해보자. 위에서 살펴본 성질인 한 현의 양쪽 원주각을 참고하면, 원의 중심을 지나는 현의 각각의 중심각이 180˚로 동일하기 때문에 각각의 원주각은 180˚의 반인 90˚가 된다. 또는,

위와 같이 두 개의 이등변 삼각형으로 나누면 a+b =90˚므로 

원의 중점을 지나는 현의 원주각은 직각 - ③이 된다.

이 성질을 이용하면 ①번 성질을 다음과 같은 삼각형의 내각과 외각의 관계를 이용해서 원주각과 중심각의 관계를 이해할 수 있다.

 

원주각 X 2 = 중심각 - ①증명

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  1. 마지막 그림 a+b 가 아니라 각각 2a, 2b로 수정합니다.
    • 지호
    • 2017.10.28 22:40
    감사합니다 ! :)
    • 2017.11.26 19:17
    비밀댓글입니다