원에서 활꼴의 넓이, 중심각, 호, 현 정리







부채꼴과 활꼴

활꼴은 현과 호로 이루어진다.

부채꼴은 원의 중심과 원주 위의 두 점을 이은 선분으로 이루어진다.

활꼴의 넓이

부채꼴의 넓이는 주어진 상황에 따라서 구하는 방법이 여러가지가 있다. 이에 대해서는 다른 포스팅에 정리하기로 하고 활꼴의 넓이를 구하는 아주 표본이 되는 문제 하나를 풀어보자.

두 원이 위와 같이 교차하고 교차하는 두 점과 원의 중점을 연결하여 정사각형이 나온 경우다.

위와 같은 부채꼴을 찾을 수 있고

부채꼴에서 삼각형(정사각형 넓이의 반)의 넓이를 빼면 활꼴의 넓이가 나온다. 원의 반지름이 주어지면

부채꼴의 넓이 = 원의 넓이/4

활꼴의 넓이 = 부채꼴의 넓이 – 삼각형의 넓이

위 문제의 넓이 = 활꼴의 넓이x 2

 

아래 그림과 같이 동일한 반지름의 원에서는 부채꼴의 중심각의 크기에 대한 현과 호의 길이가 일정하다. 이는 어떤 증명을 필요한 문제라기 보다는 일종의 성질이고 직관적으로 알 수 있는 부분이다.

중심각, 현, 호의 관계

1. 동일한 크기(반지름이 같은)의 원에서 두 부채꼴 간에 현의 길이 또는 호의 길이가 같으면 중심각의 크기가 같다.(직관적 이해가능)

2. 호의 길이와 중심각의 크기는 정비례 한다.(이 또한 직관적인 이해가 가능)

이 부분은 π=3.1415….. 로 고정된 수인지를 짐작하게 한다. 즉, π 는 단위원(반지름의 길이가1인원)에서 각이180도인 부채꼴의 호의 길이며 항상 일정하다.

3. 현의 길이와 중심각의 크기는 정비례하지 않는다.

현의 경우는 호의 길이와 달리 중심각과의 관계가 정비례하지는 않는다.(물론, 비례한다는 것은 직관적으로 알 수 있다. 하지만 이것을 정비례라고 단정하면 안된다.)

증명

중심각의 크기가 두 배가 되지만 현(b)의 길이는 두 배(2a)가 되지 않음을 알 수 있다. (참고 – 중심각의 크기가 두 배가 되면 호의 길이는 두 배가 된다.)

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