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수학 26

한붓그리기 이해하기

어떤 도형을 그릴 때 선을 떼지않고 한번에 그릴 수 있는 도형과 한번에 절대 못그리는 도형은 어떤 차이가 있을까? 오일러의 한붓그리기는 이런 차이에 대한 공식이다. 우선 한붓그리기에 있어서 점과 선(변)에 대한 정의를 명확히 할 필요가 있다. ▲ 위와 같은 모양은 선(변)의 개수는 4, 점의 개수는 4개가 된다. 그렇다면 다음 도형은 어떤가? 중간에 X의 선이 생겼고 그 교점이 추가되었다. ▲ 선은 점과 점 사이에 있어야한다. 비록 직선이더라도 선위에 점이 있을 수는 없다. 따라서 이 도형의 선의 개수는 8, 점의 개수는 5가된다. 그러면 이번에는 위 도형이 한붓그리기가 가능한지 실험해보자. 아무리 그려도 한붓그리기가 안될 것이다. 그렇다면 다음 도형은 어떤가. 아주 쉽게 한붓그리기가 가능할 것이다. 하..

수학 2017.03.30

전사, 단사, 전단사 함수에 대한 이해

이 내용은 함수의 기초적이고 개념인데, 자주 까먹는다. 실제로는 이 개념을 직접 써먹기보다는 결과만 취하기 때문이다. 그런데 선형대수를 공부하다 보니 이런 기초적인 개념을 완전히 이해하지 않으면 안된다는 것을 느낀다. 뭐 복습겸 정리하려 한다. 사상(함수) 우선 사상이 무언지 알아야 한다. 사상이란 일종의 규칙인데 f(x)=2x-1라고 할 때 f는 사상을 말한다. 표기는 위와 같이 한다. X와 Y는 각각 특정 집합을 나타내는데 사상 f에 의해 대응되는 방법이 정해진다. 즉, 집합 X의 원소에 집합 Y의 원소를 대응시키는 규칙이 f고, f를 '집합 X에서 집합 Y로의 사상' 이라고 한다. 사실 사상이란 함수를 포함하는 개념이다. 혼용되어 사용되기도 하는데, 사상이 더 넓은 개념이고, 함수는 X, Y 집합이..

수학 2015.10.16 (1)

코사인법칙 (cos 법칙)

이전에 살펴본 사인법칙은 대변과 대각의 관계에 관한 공식이다. 코사인법칙은 세 변과 각의 관계에 대한 공식이다. 코사인 법칙(cos 법칙)의 유도는 먼저 제 1 코사인 법칙을 기하적으로 유도하고 이를 이용하여 제 2 코사인 법칙을 식을 통해 유도할 수 있다. 제 1 코사인 법칙 사인 법칙을 유도할 때도 수선을 이용했다. 코사인 법칙도 수선을 이용하기 때문에 사인 법칙과 코사인 법칙의 유도는 기억하기 쉽다. a = bcosC + ccosB 이와 같이 꼭지점 C와 B에서도 대변에 수선의 발을 내리면 다음과 같이 세 가지 공식이 나온다. a = bcosC + ccosB - ① b = ccosA + acosC - ② c = acosB + bcosA - ③ 제 2 코사인 법칙 제 1 코사인 법칙은 세변과 두 각에..

수학 2015.09.25

사인법칙 (sin 법칙)

사인법칙은 반드시 암기해 두어야 합니다. 매우 활용도가 높습니다. 증명 방법도 간단하므로 증명방법도 통째로 머리에 넣어 두시길 바랍니다. 위와 같이 삼각형에서 대각과 대변의 관계가 성립합니다. 이를 사인 법칙이라고 하는데 여기서 R은 외접원의 반지름을 뜻합니다. 증명은 위 그림같이 한 꼭지점(A)에서 대변에 수선을 내리는 것으로 시작합니다. 수선의 길이를 h라고 하면 h=cSinB = bSinC 이므로 이 성립합니다. 마찬가지로 다른 꼭지점에 관해서 위와 같은 작업을 하면 이 성립합니다. 증명2는 임을 보이는 것입니다. 이미 공부했던 원주각의 성질을 이용하는데 한 변이 원의 중심을 지나도록 꼭지점 A의 위치를 옮깁니다. 원주각의 성질에 따라 직각이 생기므로 sinA를 구할 수 있습니다. 2015/08/0..

수학 2015.09.14

원뿔, 삼각뿔, 사각뿔 부피 공식

원뿔, 삼각뿔, 사각뿔..등.. 모든 각뿔의 넓이 공식은 1/3을 기억하면 된다. 원기둥이나 삼각기둥 등 밑면의 단면적과 윗면의 단면적이 같은 입체도형의 부피는 밑면의 넓이 ×높이가 된다. 여기서 높이에 따라 밑면의 넓이가 일정하게 줄어들어 뿔(점)의 형태가 되는 도형의 넓이는 원래 기둥의 넓이의 1/3이 된다. 삼각뿔, 사각뿔도 마찬가지다. 원리 생각해보기 적분을 통해 증명을 할 수도 있지만, 여기서는 기하를 통해 원리를 파악해보자. 위 그림은 직육면체를 사각뿔과 나머지 입체도형으로 분해한 것이다. 4개의 동일한 모양의 사각뿔이 나오므로 총 5개의 사각뿔이 나온다. 5개의 사각뿔의 합이 총 입체도형인 직육면체의 부피이므로 등식을 세워서 계산해보자. 여기서 전제 되어야 할 것은 모든 각뿔들은 밑변의 넓이..

수학 2015.08.26

부채꼴 호의 길이, 넓이 공식

부채꼴 호의 길이와 넓이를 구하는 방법을 알아보기 전에 호도법을 알고 넘어가야 합니다. 호도법에 대한 내용은 다음을 참고하시길 바랍니다. 2015/08/18 - [수학] - 호도법 정리 설명에 앞서 호도법 정리에서 사용한 표시 문자를 약간 수정하여 사용하고자 한다. L => 구하고자 하는 부채꼴의 호의 길이 θ => 호도법(radian)으로 나타낸 각 θ는 일반적으로 60분법에서 각도˚를 나타내지만 호도법의 rad를 말하기도 하며, 일반적인 길이나 넓이와와 계산하는 θ는 호도법을 나타내는 것이라고 생각하면 된다. 부채꼴 호의 길이 단위 원과의 비교를 통한 계산 단위 원의 둘레의 길이 : 구하고자 하는 원의 둘레의 길이 = 1 : r 이다. 이 비율은 부채꼴의 호의 길이 상에서도 성립한다. 예를 들어 θ가..

수학 2015.08.20

호도법 정리

원을 다루는데 아주 중요한 공식인 호도법에 대한 정리입니다. 호도법 - 호(의 길이)로 도(각도)를 나타내는 방법(단, 반지름이 1인 단위 원을 기준으로 한 호의 길이다.) 호도법 이해 원의 둘레의 길이는 2 πr입니다. 말로 풀면 원의 둘레는 반지름의 2 π배라고 할 수 있죠. 즉 어떤 원이든 지름과 원의둘레는 비례관계가 성립합니다. 비례관계가 성립하므로 호의 길이와 반지름의 관계에 대한 공식은 단위원에서 생각한 뒤 일반화 할 수 있을 겁니다. 각도 역시 모든 원은 360˚입니다. 따라서 원에서 호의 길이와 각도는 비례가 됩니다. 호도법은 이 비례를 이용합니다. 호도법의 정석적인 정의는 교과서에서 참고하시고 여기서는 비례관계로 정리해 보겠습니다. 1rad(라디안)은 호의 길이가 반지름의 길이와 같을 때..

수학 2015.08.18 (1)

원과 접선, 비례

원둘레의 한 점에 접하는 접선과 이 접점을 하나의 꼭지점으로 하고 이 원에 내접하는 삼각형 간의 관계를 알아보자. 이로 인해서 생기는 성질은 표시된 두 각의 크기가 같다는 것이다. 이를 증명하는 방법은 원에 내접하는 사격형에서 한 내각과 맞은편 외각의 크기가 같음을 증명하는 방법과 비슷하다. 2015/08/10 - [수학] - 원에 내접하는 사각형의 성질 원의 중점과 꼭지점을 연결하여 세 개의 이등변 삼각형을 만든다. 여기서 a+b+c=90˚임을 알 수 있다. b+x=90˚가 된다. (참고성질 : 원과 접선의 접점에서 원의 중심을 이은 선분과 접선은 직각을 이룬다) 따라서 a+b+c=b+x 므로 x=a+c가 된다. 증명 끝. 원과 비례 원 내부에서 두 직선이 교차하는 경우 조금만 상상력을 발휘하여 원주각..

수학 2015.08.13

원에 내접하는 사각형의 성질

원에 내접하는 사각형의 대표적인 성질은 내각의 두 대각의 합이 180˚라는 것입니다. 이 성질을 증명하는 방법은 여러가지가 있으나, 여기서는 두 가지만 소개합니다. 두 번째 성질로는, 원에 내접하는 사각형의 한 내각의 크기는 맞은편 내각의 외각과 크기가 같다는 것입니다. 이 성질은 첫 번째 성질을 증명하면 자연스럽게 증면되므로 첫 번째 성질을 먼저 살펴보겠습니다. 두 대각의 합은 180˚ 증명 1> 위와 같이 원에 내접하는 사각형의 각 꼭지점에서 원의 중점을 이은 선분은 원의 반지름으로 모두 같으므로 4개의 이등변 삼각형으로 나눌 수 있습니다. 2(a+b+c+d) = 360˚ a+b+c+d = 180˚ 따라서 원에 내접하는 사각형의 두 대각의 합은 항상 180˚입니다. 증명 2> 위와 같이 붉은 선으로 ..

수학 2015.08.10 (2)

원주각과 중심각의 성질

원주각과 중심각 왼쪽이 원주각 오른쪽이 중심각인데 두 각 사이에는 원주각 X 2 = 중심각 - ① 의 관계가 성립한다. 주의할 점은 왼쪽 모양은 부채꼴이 아니라는 것인데 부채꼴의 정의에서 두 선분은 반지름이어야 하기 때문이다. 그래서 호가 주어지면 원주각의 위치는 원 주위가 되기 때문에 무수히 많지만, 중심각의 위치는 원의 중점으로 하나가 된다. 원주각의 성질 한 현의 양쪽 원주각 현을 기준으로 보면 하나의 현을 중심으로 위와 같은 경우와 아래와 같은 경우로 원주각과 중심각을 그릴 수 있다. 이 경우도 원주각X2 = 중심각이라는 성질은 바뀌지 않는다. 여기서 각 부채꼴의 중심각의 합은 2θ + 2θ' = 360˚가 되어 θ + θ' = 180˚가 되므로 하나의 현에 의해 그려지는 양 쪽의 원주각의 합은 ..

수학 2015.08.02 (4)
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