이 내용은 함수의 기초적이고 개념인데, 자주 까먹는다. 실제로는 이 개념을 직접 써먹기보다는 결과만 취하기 때문이다. 그런데 선형대수를 공부하다 보니 이런 기초적인 개념을 완전히 이해하지 않으면 안된다는 것을 느낀다. 뭐 복습겸 정리하려 한다.
사상(함수)
우선 사상이 무언지 알아야 한다.
사상이란 일종의 규칙인데 f(x)=2x-1라고 할 때 f는 사상을 말한다.
표기는 위와 같이 한다. X와 Y는 각각 특정 집합을 나타내는데 사상 f에 의해 대응되는 방법이 정해진다.
즉, 집합 X의 원소에 집합 Y의 원소를 대응시키는 규칙이 f고, f를 '집합 X에서 집합 Y로의 사상' 이라고 한다.
사실 사상이란 함수를 포함하는 개념이다. 혼용되어 사용되기도 하는데, 사상이 더 넓은 개념이고, 함수는 X, Y 집합이 '수'일 때를 말한다.
따라서,' X에서 Y로의 함수(사상)' 이라고도 한다.
상이란?
위 그림을 분석해보자.
X집합, Y집합, 사상 f 그리고 y2, y3, y4는 각각이 상이다. 상은 사상 f에 의해 X의 원소 xi에 대응되는 Y의 원소며, '사상 f에 의한 xi의 상'이라고 말한다.
정의역, 공역, 치역
집합 X는 사상 f 정의역, 집합 Y는 사상 f 공역 그리고 상 전체 집합을 사상 f의 치역이라고 한다.
따라서 공역은 치역과 같거나 치역을 포함한다.
전사, 단사, 전단사 함수
전사는 위에서 말한 공역(집합 Y) 과 치역이 같은 경우를 말한다.
단사는 x1≠x2면 f(x1) ≠f(x2) 것을 말한다. 또는 일대일 사상(함수)라고도 한다.
전단사는 전사+단사를 말한다. 또는 일대일 대응이라고도 한다.
일대일 사상(함수)는 X의 관점에서 생각하는 것이고, 일대일 대응은 X와 Y 양쪽에서 바라본 것이라고 생각하면 된다. 예를 들어 역사상(역함수)의 경우 일대일 대응은 역함수(역사상)도 일대일 대응이지만, 일대일 대응이 사상(함수)인 아닌 경우 경우(예를들어 2차함수(포물선)) 역사상(역함수)은 함수가 성립되지 않음을 알 수 있다.