코사인법칙 (cos 법칙)

이전에 살펴본 사인법칙은 대변과 대각의 관계에 관한 공식이다.

코사인법칙은 세 변과 각의 관계에 대한 공식이다.

코사인 법칙(cos 법칙)의 유도는 먼저 제 1 코사인 법칙을 기하적으로 유도하고 이를 이용하여 제 2 코사인 법칙을 식을 통해 유도할 수 있다.

 

제 1 코사인 법칙

사인 법칙을 유도할 때도 수선을 이용했다. 코사인 법칙도 수선을 이용하기 때문에 사인 법칙과 코사인 법칙의 유도는 기억하기 쉽다.

a = bcosC + ccosB

이와 같이 꼭지점 C와 B에서도 대변에 수선의 발을 내리면 다음과 같이 세 가지 공식이 나온다.

a = bcosC + ccosB - ①

b = ccosA + acosC - ②

c = acosB + bcosA - ③

 

제 2 코사인 법칙

제 1 코사인 법칙은 세변과 두 각에 대한 공식이다.

이를 이용해서 세 변과 한 각에 대한 공식으로 바꾸면 제2 코사인 법칙이 된다.

 

공식 유도 포인트)

A에 대한 코사인 제2법칙을 유도하려면 식 ①,②,③에서 B가 공통으로 있는 두 식을 연립하여 B를 없애고, 나머지 C를 코사인 제1법칙을 이용해 A에 관한 식으로 만든다..

 

첫 번째, ①, ③ 에서 B를 없앤다.

① ×a

a² = abcosC + accosB - ⓐ

③×c

c² = accosB + bccosA - ⓑ

ⓐ - ⓑ

a² - c² = abcosC - bccosA - ④

 

C를 없애면 된다 식 b = ccosA + acosC - ②를 이용한다.

④ - ②×b

a² - c² = (b2 - bccosA) - bccosA

a² - c² = b² - 2bccosA

따라서,

a² = b² + c²- 2bccosA

같은 방법으로

b² = a² + c²- 2accosB

c² = a² + b²- 2abcosC

참고

2015/09/14 - [수학] - 사인법칙 (sin 법칙)

중요하므로 무조건 암기해야 한다.