원을 다루는데 아주 중요한 공식인 호도법에 대한 정리입니다.
호도법 - 호(의 길이)로 도(각도)를 나타내는 방법(단, 반지름이 1인 단위 원을 기준으로 한 호의 길이다.)
호도법 이해
원의 둘레의 길이는 2 πr입니다. 말로 풀면 원의 둘레는 반지름의 2 π배라고 할 수 있죠. 즉 어떤 원이든 지름과 원의둘레는 비례관계가 성립합니다. 비례관계가 성립하므로 호의 길이와 반지름의 관계에 대한 공식은 단위원에서 생각한 뒤 일반화 할 수 있을 겁니다.
각도 역시 모든 원은 360˚입니다. 따라서 원에서 호의 길이와 각도는 비례가 됩니다. 호도법은 이 비례를 이용합니다. 호도법의 정석적인 정의는 교과서에서 참고하시고 여기서는 비례관계로 정리해 보겠습니다.
1rad(라디안)은 호의 길이가 반지름의 길이와 같을 때의 각도 x를 나타냅니다. 이 값 x는 원의 반지름에 상관없이 언제나 일정합니다. 왜냐면 반지름이 r인 경우에도 원의 둘레와 반지름은 비례관계이므로 x의 값은 변하지 않기 때문입니다.
1rad = x˚
계산의 편의상 단위원에서 생각해 봅시다. x는 호의 길이가 1(단위길이)일 때의 각도이므로 각도 x를 알고 싶다면 360을 원둘레 2π로 나누면 됩니다. 즉 360/2π(rad) = x˚
1rad = x˚ = 180/π˚
그렇다면 같은 방식으로 1˚ 은 몇 라디안인지 알아봅시다. 단위각도(1˚)이므로 원의 둘레 2π를 360˚으로 나누면 되겠습니다.
2π/360˚
π/180 (rad) = 1˚
위 계산은 어디까지나 계산의 편의상 단위원에서 생각했습니다. 굳이 반지름이 r인 원들을 가지고 생각하려면 다음처럼 정석적인 방법을 사용하는게 좋을 것 같네요.
2πr : 360 = r : x˚
어짜피 r은 약분되어 단위원에서 생각하는 것과 동일하지만 말이에요.
거두 절미 하고 예를 들면 반지름이 2고 각도가 θ인 부채꼴의 경우
θ(60분법)와 L(호도법)의 관계를 나타내면 다음과 같다.
L은 θ가 된다.
L = θ
왜 단위 원에서 생각하는가?
호도법은 단위 원에서 생각해야 한다. 이유는 부채꼴에서 각도(60분법)는 부채꼴의 닮은비가 달라져도 항상 같기 때문이다. 부채꼴의 닮은비는 반지름의 길이로 결정되는데, 반지름이 커질 경우 호의 길이도 덩달아 커지는 문제가 있다. 따라서 호도법은 반지름의 길이를 1로 놓았을 때의 호의 값으로 한다.
좀 더 살펴보기
L과θ간의 관계가 위와 같고, 단위 원에서 생각하면해야 하므로360˚와 원둘레의 길이(2π) 가 같음을 알 수 있다.
180˚ = π
90˚ = π/2
위 등식은 단위 원에서 항상 성립하고 단위는 rad(radian)라디안을 쓴다.
180˚ = π rad
90˚ = π/2 rad
60분법과 호도법간의 변환
180˚ = π rad
위 등식을 응용하여 60분법과 호도법 간 변환은 다음을 이용한다.
1˚ = π/180 rad
180˚/π = 1 rad
각각 좌변 값 우변 값으로 나누기만 하면 된다.
호도법은 기본적인 원리가 매우 중요하기 때문에 억지로 외워서는 자꾸 잊어버리게 된다.
예1) 120˚를 호도법으로 나타내면?
120˚× (π/180) = 2 π /3 rad
예2)π/12를 60분법으로 나타내면?
(π/12) × (180˚/π) = 15˚