원과 접선, 비례

원둘레의 한 점에 접하는 접선과 이 접점을 하나의 꼭지점으로 하고 이 원에 내접하는 삼각형 간의 관계를 알아보자.

이로 인해서 생기는 성질은 표시된 두 각의 크기가 같다는 것이다. 이를 증명하는 방법은 원에 내접하는 사격형에서 한 내각과 맞은편 외각의 크기가 같음을 증명하는 방법과 비슷하다. 

2015/08/10 - [수학] - 원에 내접하는 사각형의 성질

<증명>

원의 중점과 꼭지점을 연결하여 세 개의 이등변 삼각형을 만든다. 여기서 a+b+c=90˚임을 알 수 있다.

 

b+x=90˚가 된다.

(참고성질 : 원과 접선의 접점에서 원의 중심을 이은 선분과 접선은 직각을 이룬다)

따라서 a+b+c=b+x 므로

x=a+c가 된다.

증명 끝.

 

원과 비례

 

원 내부에서 두 직선이 교차하는 경우

조금만 상상력을 발휘하여 원주각을 그려보자. 그리다 보면 닮은꼴 삼각형을 쉽게 발견할 수 있다.

삼각형 OAB와 삼각형 OCD는 닮음이다. 따라서 비례관계를 알아낼 수 있다.

OA:OB = OC:OD

따라서 

OB ×OC = OA × OD

 

원 외부에서 교차하는 경우

이 경우도 원주각을 생각해보자.

OAB와 OCD는 닮은꼴이고 OA:OC=OB:OD

따라서 OA × OD = OC × OB

 

원을 지나는 직선과 접하는 직선

이 경우는 처음에 살펴보았던 성질을 이용한다.

OAB와 OBC는 닮음

따라서 OA:OB = OB:OC

OA×OC = OB2

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