카프리카는 인도의 수학자 입니다. 그의 이름을 딴 수는 카프리카수와 카프리카의 불변수가 있는데, 여기서는 카프리카의 불변수에 관한 이야기입니다. 카프리카의 불변수를 이야기하기 앞서 카프리카수에 대해서 간단히 언급하고 넘어가 보죠.
어느 마을 기찻길에 3025KM 라고 쓰여진 표지판이 있었습니다. 어느날 이 표지판이 넘어지면서 둘로 쪼개졌는데 정확히 30과 25로 나뉘었고 그곳을 지나가던 카프리카는 그 쪼개진 표지판을 보고 30+25=55, 55^2=3025 임을 발견했습니다. 이렇게 원래 자신의 수를 반반 나누어 더해 제곱하여 원래 수가 되는 수를 카프리카수라고 합니다.
그럼 이렇게 우연이지만, 어떤 법칙과 의미가 있을 것 같은 카프리카의 불변수에 대해서 이야기해 보도록 하겠습니다.
4자리 수 6174는 카프리카 불변수 입니다. 이 수에는 다음과 같은 비밀이 숨겨져 잇습니다.
6174의 각 자리 숫자를 오름차순과 내림차순으로 정리합니다.
7641, 1467
이렇게 정리한 두 숫자를 큰 수에서 작은 수를 뺍니다.
7641-1467=6174
카프리카수와 비슷하게 원래 자신의 수가 나옵니다. 이 또한 우연일 수 있습니다. 그런데 카프리카의 불변 수는 여기에 더 미스테리한 요소가 있습니다.
다음과 같이 몇 개의 임의의 4자리 수를 가지고 위와 같은 작업을 반복해 보도록 하겠습니다. 단, 모든 자리 수가 모두 똑같으면 안됩니다. 다 같게되면 결과는 0이 되니까요 (Kaprekar's operation)
실험을 위해서 제가 직접 간단한 프로그램을 만들었습니다. 수를 입력하면 내림차순과 오름차순으로 수를 정리하여 차를 나타내줍니다. 마지막에는 시행횟수도 출력합니다.
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세 번 모두 임의의 4자리 수를 입력했고 시행횟수는 다르지만 모두 6174로 귀결됩니다. 이 정도면 6174가 보통 수는 아닌 듯 보입니다.
그럼, 이런 카프리카의 불변수는 4자리에서만 가능한가?
이 실험을 위해서 위 소스를 고쳐서 3자리 수에 대해서 실험을 또 해보도록 하겠습니다.
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495에서 무한 반복이 됩니다. 3자리 수에 대해서는 495가 종착지군요. 우연치고는 놀라운 우연입니다.
그럼 2자리 수에 대해선 어떨까요?
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2자리수는 결과값이 1자리지만 9로 종착됩니다.(물론 이후의 연산은 불가합니다. 그렇기 때문에 카프리카의 불변수라고 말하기는 힘들어 보입니다. 09라 생각하더라도 90-9=81이 되기 때문에 법칙에 맞지 않습니다.)
2자리 수의 애매하지만 이렇게 2,3,4 자리수는 종착되는 수가 있습니다.
다음은 6174로 종착되는 수의 시행의 횟수와 빈도 입니다.
0회에 해당하는 수는 6174입니다 최대 7회의 Kaprekar's operation이 시행됩니다.
또 재미있는 사실이 있습니다.
위 그림에서 4자리 수를 시행한 결과 화면에서 마지막 시행 전 시행의 수를 확인해 보세요.
9963->6642->7641 이렇게 일정한 규칙이 보입니다. 단지 세 번의 임의 시행에 대해 이런 규칙이 보여진다면 6174로 오기 위한 특정 루트가 존재함을 유추해 볼 수 있습니다.
다음은 이 루트를 나타냅니다.
총 30개의 수가 존재하게 되고(30개의 수는 빈도수를 조사하여 결정한 것), Kaprekar's operation을 시행하다 위 수 중 하나의 수가 나오면 위 루트를 따라서 6147에 도달하게 됩니다. 6174가 특별한 수기는 하지만 위와 같은 규칙성이 존재한다는 것, 그리고 마치 미로를 빠져나오는 하나의 통로로 연결된 듯한 규칙성도 꽤 매력적입니다.
다음은 5자리 이상의 카프리카의 불변수의 존재유무를 검사한 자료입니다.
어떤 규칙성을 찾기는 힘들어 보입니다.
하지만 단위 수들 마다 자신만의 규칙성이 있다고 할 수도 있습니다.
단순히 우연이라고 하기에는 뭔가 있어 보이기 때문에 더욱 미스터리하고 신비로워 보입니다.