삼각형의 무게중심 그리고 삼각형의 넓이













삼각형의 무게중심의 정의는 다음과 같다.


각 세 꼭지점에서 대변의 중점을 연결하면 한 점에서 만나는데, 이 점이 무게중심이다.




무게중심의 성질

- 무게중심은 꼭지점과 대변의 중점을 2:1로 내분한다.



<증명>


삼각형 AMC에서 붉은 직선은 직선 AM과 평행하고 선분 AC의 중점을 지난다. 그래서 직선 붉은 직선은 MC를 이등분 한다.


선분 AM은 선분 BC를 이등분한다.


무게중심은 꼭지점과 대변의 중심을 2:1로 나눈다.




- 삼각형의 세 꼭지점이 좌표로 주어졌을 때 무게중심을 구하는 방법.




- 면적 특성


꼭지점과 대변의 이등분 선을 모두 이으면 삼각형을 6등분 할 수 있다. 붉은 색 조각을 비롯한 6개의 삼각형은 모두 크기가 같다.

또한 무게 중심을 지나고 꼭지점과 변의 이등분선을 지나는 점은 삼각형의 넓이를 이등분 한다.

주의할 점은 무게중심을 지난다고 삼각형의 면적을 이등분하지 않는다는 것이다.



그러면 무게중심을 지나지 않고 삼각형의 넓이를 이등분 하는 선의 예를 찾아보았다.

인터넷에서 직선이 무게중심을 지나지 않고 삼각형의 넓이를 이등분하는 예를 찾아봤는데, 못 찾아서 직접 만든 예다. 이 예는 참고만 하시고, 스스로 판단하시길 바랍니다.


좌표상에 세점 A(2,-1), B(-1,3), C(4,-4)가 있고 y축에 평행한 직선 x=a가 이 삼각형을 이등분할 때 a의 값을 구하면?

세점이 주어졌을 때 삼각형의 넓이 공식은 헤론은 공식을 이용할 수도 있고, 벡터의 외적을 이용할 수도 있다.


그림 수정 : y=a가아니고 x=a

대충 위와 같은 모양이다.


2015/06/01 - [수학] - 삼각형 넓이 공식


삼각형의 넓이는 헤론의 공식에 의해 14가 나온다.

x=a와 만나는 선분은 AB 아니면 AC 그리고 BC다.

직선 AC와 x=a와 만나는 점과 직선 BC와 x=a가 만나는 두 점사이의 길이를 밑변으로 하고, 4-a 가 높이로 하는 삼각형의 넓이가 7인경우 (단,a>=2),

또는 직선 BA와 x=a와 만나는 점과 직선 BC와 x=a가 만나는 두점사이의 길이를 밑변으로 하고 높이가 a+1인 삼각형의 넓이가 7인 경우(단,a<=2) 두 가지로 나누어서 계산하면 둘 중 하나만 조건에 맞게 된다.

직접 만든 문제로 해답은 없고, 필자는 a=49/21이 나왔다. 약 2.4정도의 값이다.


BC의 중심 M의 x좌표는 (4-1)/2 로 x = 1.5가 된다. 위 그림처럼 x=a와 삼각형 내부에서 만나지 않는다.

무게중심은 AM을 2:1로 나누는 점으로 선분 AM 상에 있고 y=49/21은 위 삼각형의 넓이를 이등분한다.

결국 삼각형의 넓이를 이등분 하는 직선은 무게 중심을 지난다는 명제는 거짓이다. 


그렇다면 무게중심을 지나면 삼각형의 넓이를 이등분 할까?


위와 같이 직선 l을 그으면(무게중심을 지남) l은 삼각형을 2등분 하지 않는다.

때문에 무게중심을 지난다고 삼각형의 넓이를 이등분 하지 않는다고 생각한다.


<문제>

다음 문제는 삼각형의 넓이를 이등분하는 선을 구하는 예이다.

AB위의 임의의 점 p를 지나는 이등분 선을 그리는 문제이다.

A에서 BC의 중심선을 잇는 선을  그린다.


M은 BC의 중심이고 AD는pM과 평행이다.


위와 같이 pD를 잇는 선을 그린다.

BMA는 무게중심의 성질에 의해 ABC의 넓이를 이등분 한다.

pM과 AD는 평행이므로 BMA와 BpD는 넓이가 같다.

BMA와 넓이가 같은 BpD는 삼각형 넓이의 반이므로 pD는 위 삼각형의 넓이를 이등분한다.

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  1. 참고 잘 했습니다 감사합니다